数学史上的三次危机分别是什么？

在人类历史的长河中，数学这门学科经历了三次重大的危机，每一次危机都为数学的发展留下了深刻的烙印。这三次数学危机分别是无理数的发现、微积分的完备性以及罗素悖论。

第一次数学危机发生在古希腊时期。毕达哥拉斯学派曾提出所有数字都是有理数的观点。希帕索斯却发现了无理数，这一发现引发了学派的震动。为了维护学派的权威地位，毕达哥拉斯的门徒竟然将希帕索斯杀害并抛入大海。尽管如此，无理数的发现引发了一场数学革命，史称第一次数学危机，这一危机影响了数学史近两千年的时间。

紧接着，第二次数学危机出现在微积分的发明过程中。牛顿和莱布尼茨分别发现了微积分，然而他们对于微积分基本概念的定义都存在模糊的地方，这引发了一些人的强烈反对和攻击。其中，英国大主教贝克莱提出的悖论更是让数学家们陷入了困境。直到法国数学家柯西用极限定义了无穷小量后，这个问题才得以解决。

第三次数学危机则是由罗素悖论的提出引发的。数学家们试图建立一些基本的公理，并利用严格的数理逻辑推导和证明所有定理。康托尔发明集合论后，数学家们看到了希望。罗素提出的悖论却让人们震惊。这个悖论通俗地讲，就是在一个城市中，有一位理发师声称他只给那些不给自己刮脸的人刮脸。那么，这位理发师自己的脸应该由谁来刮呢？这个悖论的提出引发了数学界的又一次危机。直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立才弥补了集合论的缺陷。

虽然这三次数学危机都已经得到了解决，但它们对数学史的影响是极其深刻的。数学家们在追求建立严格数学系统的过程中，无论多么小心谨慎，总会存在缺陷和漏洞。这也引发了人们对于数学学科未来发展的深思。每一次数学危机都推动了数学的进步和发展，使得数学这门学科更加完善和丰富。我们可以预见，未来的数学发展仍然会面临各种挑战和危机，但正是这些危机推动着数学不断向前发展。