欧拉公式,世上最美妙的公式

看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（奇技网介绍明星详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55(7^2)Ξ1^{55}7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。

逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E先以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1。

1．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一个点。

设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度

由(1)(2)得(E-F) ·360度=（V-2）·360度；所以 V+F-E=2。

2、拓扑学证明

尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。欧拉公式对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末F-E+V=2。证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）1．把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。2．去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。3．对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。4．如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。5．如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，F′-E′+V′仍没有变。6．这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，F′-E′+V′=1-3+3=1。7．因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，图形还是连在一起的，所以不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。8．如果是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。F′-E′+V′仍然没有变。即F′-E′+V′=1成立，于是欧拉公式F-E+V=2 得证。

例足球表面由五边形和六边形的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边形和六边形？

由欧拉公式，x+y－(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，解得x=12。所以，共有12块黑皮子；所以，黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的。对于白皮子来说每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。

所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20，所以共有20块白皮子（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接所以，五边形的个数x=3y/5。之前求得x=12，所以y=20）。

2、欧拉公式的运用

（1）分式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c当r=4时值为a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca当r=5时值为a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c）+ca(c+a)+abc一般的，当r取正整数n时，有a^n/(a-b)(a-c)+b^n/(b-c)(b-a)+c^n/(c-a)(c-b) =∑ (a^i)(b^j)(c^k)，其中i，j，k是非负整数，且i+j+k=n。（2）复数由e^iθ=cosθ+isinθ，得到sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2i；cosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2（3）三角形设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则d^2=R^2-2Rr（4）多面体设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，例如p=0 的多面体叫第零类多面体p=1 的多面体叫第一类多面体（5）多边形

欧拉定理 若(a,n)=1，则aφ(n)≡1 (mod n) 其中n是正整数，φ(n)是小于n且与n互素的正整数的个数,称欧拉函数。 证设R={x1,x2,...,xφ(n)}是由小于n且与n互素的全体数组成的集合，a╳R={ax1 mod n,ax2 mod n,...,axφ(n) mod n}},对a╳R中任一元素axi mod n，因a与n互素，xi与n互素，所以axi与n互素①②，又axi mod n 所以aφ(n)≡1 (mod n)。 ①

(B)设a,b和c是正整数，(a,b)=1，c|a，则(b,c)=1。 证设(b,c)=d且d>1，则有d|b，d|c。由d|c，c|a，⇒d|a。由于d|a，d|b，所以d是a和b的公因数，而a,b的最大公因数(a,b)=1，与定义矛盾，(b,c)=1。

(C)设a,b和c是正整数，(a,b)=1，则(a,bc)=(a,c)。 证设(a,c)=d1，(a,bc)=d2，一方面d1|a,d1|c，d2|a,d2|bc，⇒d1|a,d1|bc，⇒d1是a和bc的公因数，依定义:d1≤d2 另方面由d2|a,(a,b)=1及性质（7）得(d2,b)=1。从(d2,b)=1，d2|bc，由性质（6）得d2|c，⇒d2是a和c的公因数，依定义:d2≤d1 从而d2=d1，故(a,c)=(a,bc)。

推论若(a,b)=(a,c)=1，则(a,bc)=1。 ②根据性质gad(a,b)=gad(b，r)，有(a,n)=(axi mod n,n)=1。 ③设axi mod n=axj mod n，1≢xi，xj≢n.⇔axi≡axj（mod n），由a与n互素知，a在mod n下有乘法逆元或消去律，⇔xi≡xj（mod n），⇔xi mod n≡xj mod n，记xi=nq1+r,xj=nq2+r,⇒xi-xj=n(q2-q1)⇒xi=xj+n(q2-q1)，若q2≠q1⇒xi>n,所以xi=xj。 ④[（a mod m）╳(b mod m)]mod m=(a╳b) mod m ∏（axi mod n）=∏xi，∏axi≡∏xi（ mod n），aφ(n) ∏xi≡∏xi（ mod n）。④ i=1 φ(n) i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) 由每一xi与n互素，知∏xi与n互素，∏xi在mod n下有乘法逆元。 i=1 i=1 φ(n) φ(n)

1．数学规律公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律。2．思想方法创新定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。3．引入拓扑学从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。定理引导我们进入一个新几何学领域拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。4．提出多面体分类方法在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。5．利用欧拉定理可解决一些实际问题如为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？

欧拉定理指出如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。

在完全竞争的条件下，厂商使用要素的原则是要素的边际产品价值等于要素价格。即:(1)PMPL=W ；(2)PMPK=r由式1和2可得(3)MPL=W/P；(4)MPK=r/pP为产品的价格，W/P和r/P分别表示了劳动和资本的实际报酬。因为在完全竞争的条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。假定整个社会的劳动总量和资本总量为L和K，而社会总产品为Q,由在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品,得:(5)Q=LMPL+KMPK公式5称为欧拉分配定理。它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。

假设生产函数为Q=f(L.K)(即Q为齐次生产函数),定义人均资本k=K/L；方法1:根据齐次生产函数中不同类型的生产函数进行分类讨论(1)线性齐次生产函数n=1,规模报酬不变,有:Q/L=f(L/L,K/L)=f(1,k)=g(k)，k为人均资本，Q/L为人均产量，人均产量是人均资本k的函数。让Q对L和K求偏导数,有:∂Q/∂L=∂[Lg(k)]/∂L=g(k)+L[dg(k)/dk][dk/dL]=g(k)+Lg’(k)(-K/L)=g(k)-kg’(k)∂Q/∂K=∂[Lg(k)]/ ∂K=L[∂g(k)/∂k]=L[dg(k)/dk][∂k/∂K]=Lg’(k)(1/L)=g’(k)由上面两式，即可得欧拉分配定理L[∂Q/∂L]+K[∂Q/∂K]=L[g(k)-kg’(k)]+Kg’(k)=Lg(k)-Kg’(k)+Kg’(k)=Lg(k)=Q。

(2)非线性齐次生产函数1.当n〉1时，规模报酬递增，如果按照边际生产力分配，则产品不够分配给各个生产要素，即L[∂Q/∂L]+K[∂Q/∂K]>Q；2.当n<1时，规模报酬递减，如果按边际生产力进行分配，则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余，即L[∂Q/∂L]+K[∂Q/∂K]

4、实例应用

在技术经济学中，欧拉定理属于一次齐次函数的一个重要性质，它是说一次齐次函数的数值都可以表示为各自变量和因变量对相应自变量一阶偏导的乘积之和。在理论上，这句话显得很晦涩，可以用一个很形象的例子来解释。假设有两个人，他们一个有十个胡萝卜的种子，一个有种胡萝卜的经验，他们打算合作，前者出种子，后者出劳力，用十天的时间来种植胡萝卜。在这过程中，风调雨顺，没有什么意外，种子全部茁壮成长，拥有种植经验的人也尽职尽责，得到的胡萝卜的产量是最大化的，有十公斤。而每个种子的在自然状态下能产出0.5公斤的胡萝卜，劳动者每一天能辛劳能使胡萝卜在最终增加0.5公斤，所以的产量也是10=0.510+0.510，即种子(资本)的边际产出乘以资本量加上劳动的边际产出乘以劳动量等于总产出。

上边是对欧拉定理在经济学中一次齐次生产函数的解释。它又有什么深刻地含义呢?在宏观经济中，上述的欧拉定理可以被解释为收入的分配，也就是在胡萝卜的例子中，前五公斤的萝卜是由资本所作出的贡献，后五公斤是由劳动所作出的贡献，如果社会这种很理想量化的贡献来分配产出，那么社会的分配时公平也富有效率的，也是能够自动将产出出清的。

这样看来，一个社会的产出如果能用欧拉定理将各种生产要素的贡献清晰量化，按贡献分配产出，那么这个社会是如此的美好啊，至少每个劳动者，每个资本拥有者用了生产的动力，不会像人民公社中的按需分配的成员那样随处搭便车，产生囚徒困境的窘境，也不会像如今这样劳动者到处诉苦说自己的贡献在社会分配中被低估，而国家有制定最低工资制度，结果造成在位者的得利，失业者的痛苦。

1、自然界的 e 含于其中自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，谁能够离开它？2、最重要的常数 π 含于其中世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗？(还有π 和e是两个最重要的无理数！)3、最重要的运算符号 + 含于其中之所以说加号是最重要的符号，是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆逆运算，乘法是累计的加法……4、最重要的关系符号 = 含于其中从你一开始学算术，最先遇见它，相信你也会同意这句话。5、最重要的两个元在里面零元 0 ，单位元 1 ，是构造群，环，域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书，你就会体会到它的重要性。6、最重要的虚单位 i 也在其中虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，而在哈密尔的 4 元数与 凯莱的 8 元数中也离开不了它。