牟合方盖是什么意思?

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　　球体体积是求积法其中一项须要研究的题目。在1800多年前，希腊数学家阿基米德(Archimedes)已经发现球体体积的公式，而且采用的方法更是使用了积分的概念。在中国则要到南北朝时代才正确地求出球体的体积，而使用的方法称为"牟合方盖"。

　　刘徽理论

　　其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是"牟合方盖"，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π:4，他希望可以用"牟合方盖"来证实《九章算术》的公式有错误。他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道"牟合方盖"的体积跟内接球体体积的比为4:3，只要有方法找出"牟合方盖"的体积便可，可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出"外棋"的体积，但由于"外棋"的形状复杂，所以没有成功，无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法:"观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。"而贤能之士要在刘徽后二百多年才出现，便是中国伟大数学家袓冲之及他的儿子祖暅，他们承袭了刘徽的想法，利用"牟合方盖"彻底地解决了球体体积公式的问题。

　　祖冲之父子主要发现

　　是到三个"外棋"的计算方法。他们先考虑一个由八个边长为r的正立方体组成的大正立方体，然后用制作"牟合方盖"的方法把这大正立方体分割，再取其中一个小正立方体部分作分析，分白色部分称为"小牟合方盖"，它的体积为"牟合方盖"的八分之一，而紫红、黄和青色的部分便是三个"外棋"。

　　祖冲之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h，三个"外?"的横切面面积的总和为S及小牟合方盖的横切面边长为a，根据"勾股定理"有a²=r²-h²，因为S=r²-a²所以S=r²-(r²-h²)=h²于所有的h来说，这个结果也是不变的。

　　祖氏父子便由此出发，他们取一个底方每边之长和高都等于r的方锥，倒过来立着，与三个"外棋"的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，不难发现对于任何的h，方锥截面面积也必为h²。

　　换句话说，虽然方锥跟三个"外棋"的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了，所以祖氏云:"缘幂势既同，则积不容异。"

　　所以外棋体积之和=方锥体积=小立方体体积/3=r³/3即小牟合方盖体积= 2r³/3牟合方盖体积=16r³/3球体体积=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3这条公式也就是正正式式的球体体积公式。