方方正正的皮亚诺曲线

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　　皮亚诺曲线是一曲线序列的极限，不再是通常定义下的曲线。下文中“曲线”应解释为“曲线的极限”。只要恰当选择函数，画出一条连续的参数曲线，当参数t在0、1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。 皮亚诺曲线是一条连续而又不可导的曲线。

　　观点提出

　　皮亚诺(Peano)曲线是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是1维， 正方形是2维。

　　1890年，意大利数学家皮亚诺(Peano G)发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f(t)和y=g(t)，使得x和y取属于单位正方形的每一个值。后来，希尔伯特作出了这条曲线。

　　，一维的东西是不可能填满2维的方格的。皮亚诺曲线恰恰给出了反例。

　　这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。

　　皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。如果我们想要研究传统意义上的曲线， 就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。